\chapter{MARCO TEORICO}
Con el marco teórico que soporta el proyecto, se desean presentar los conceptos y términos que conciernen a la propuesta de investigación con el fin de dar al lector una mejor claridad y entendimiento de los temas, además de la relación que estos guardan con el desarrollo del proyecto. 

\section{Sistemas de control en la actualidad}
Hoy en día se ha encontrado una tendencia en la forma como se estudian los sistemas de control; cada día se busca más constatar la teoría con la realidad, pero la tendencia no está dirigida solamente a la verificación de la teoría, cada día más se busca que las pruebas de la teoría y simulación, se haga con plantas de bajo costo, de tal manera que los experimentos estén al alcance da la gran mayoría.

\subsection{Robots móviles}

Uno de los experimentos más interesantes en la teoría de control son los robots móviles, ya que con estos se pueden verificar teorías para los diferentes enofques de los sistemas de control, tanto en el control distribuido teniendo varios agentes y dando a estos un control como grupo, como en el control automático con la implemetaión de controles locales clásicos, modernos, no lineales o fuzzy para dar estabilidad a estos robots. 

Para el desarrollo del proyecto de grado, tal como lo indica el título del mismo, se desean implementar robots móviles. En el campo de la Robótica se entiende por Robots Móviles a aquellos robots que utilizan ruedas u orugas como sistema de locomoción, para la aplicación de este proyecto se trabará con un tipo de robot cuya locomoción es basada en ruedas, específicamente dos ruedas, lo cual lo hace diferente a un robot común y lo que implica la necesidad de un control sobre el mismo. 

Los robots móviles son máquinas móviles, que mediante rodamientos o extremidades controladas por un algoritmo, un sistema de control, o una señal externa, se dirigen hacia un objetivo deseado o cumple con una tarea deseada. En aplicaciones de gran envergadura, costo y alto nivel de conocimiento se encuentran robots móviles capaces de decidir y aprender de su experiencia, que pueden implementar capacidades de aprendizaje y de tipo evolutivo para aprender de su interacción con el mundo.

Existen dos tipos de robots móviles:

\begin{itemize}
\item \begin{description}
	\item[Autónomos:]Poseen su propia alimentación y son capaces de moverse sin depender de fuentes de alimentación externas y con un algoritmo interno que les permite tomar decisiones para la siguiente acción a realizar según las diferentes posibilidades que se les presenten.
	\end{description}
\item \begin{description}
	\item[Dependientes:]Necesitan de la alimentación por el usuario mediante cableado, como por ejemplo el brazo extensible de una nave espacial, como no poseen una “inteligencia propia”, reciben una señal externa que les indica lo que deben hacer.
	\end{description}
\end{itemize}

La presente aplicación propuesta concierne un robot que no se puede definir como sólo autónomo o dependiente, ya que a pesar de tener su propia alimentación y tener un control local embebido que le permite mantenerse equilibrado, las acciones que realiza en cuanto a la búsqueda de la mina, se dan gracias a una señal externa que le indica hacia donde se debe dirigir. 

\subsection{Plantas de bajo costo}

Los experimentos de bajo costo están siendo utilizados no solo en el ámbito académico para el pre-grado, se ha vuelto muy frecuente en proyectos para la demostración de comportamiento de sistemas, en proyectos escolares, laboratorios y proyectos de especialzaciones, maestrías y doctorados[5]; Aún cuando estos experimentos se vuelven cada día más comúnes, hace falta todavía mucho software y hardware para desarrollar experimentos en todas las disciplinas[1].
Aunque se han hecho experimentos de bajo costo de todo tipo, últimamente se ve que lo más frecuente es hacer uso de LEGO® para llevar estas actividades a cabo; Por todas las razones expuestas en la introducción, LEGO® es una opción para el desarrollo de plantas de bajo costo que garantizan productos y desarrollos de alta calidad ya que no solo se cuenta con fichas para la construcción de infinita variedad de experimentos, se tiene hardware y software garantizado de diferentes tipos y para diversas aplicaciones.

\section{Robots tipo segway en LEGO®}

Los robots móviles que se desean implementar en el proyecto de grado, son estructuralmente de tipo Segway, es decir, robots auto-balanceados sobre dos ruedas. 

Se escogió este tipo ya que se desea que en el sistema no sólo se muestre el control cooperativo sino que se tenga un control local, para tener un control local de alto nivel sobre los agentes, estos se debían escoger de tal forma que realmente necesitaran de dicha acción de control. 
\\

Generalmente los robots como agentes se implementan con 4 ruedas por lo tanto son de naturaleza estable, el tipo segway a diferencia de los otros se mantiene sobre dos ruedas y por tanto su naturaleza es inestable y necesita de un control para mantenerse equilibrado y “de pie”.

Cabe aclarar que este tipo de robot no tienen ningún patrón para adquirir conocimiento, ni ningún algoritmo para la interacción entre agentes, sólo tiene capacidades sensoriales y motrices; en este grupo entran los robots que se implementarán para el proyecto.

\subsection{Estructura del robot}

%Aqui va la imagen del LEGO segway

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    	\includegraphics[width=0.6 \textwidth]{estruc_robot.eps}
    \caption{Estructura robot LEGO Segway.}
    \label{fig:estruc_robot}
\end{figure}

En la figura \ref{fig:estruc_robot} se observa la estructura del robot agente que se desea implementar y controlar. Para el sistema robot buscaminas se implementaría 3 agentes iguales al prototipo de la figura.
Este robot móvil cuenta básicamente con tres sensores (ver cuadro 6.1); el sensor de ultrasonido se ultiliza para la detección de obstáculos y minas, el giróscopo o sensor de giro es necesario para el control del robot, para que este pueda mantenerse en pie tanto estando quieto como en movimiento, finalmente el encoder que se encuentra en cada uno de los motores, es muy util para determinar la distancia recorrida y posición del robot, las propiedades del actuador se pueden ver en el cuadro 6.2.

%-----------------------------------------------------------
\begin{table}[ht]
\centering             % Centra la Tabla
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline \textbf{Sensor} & \textbf{salida} & \textbf{Unidades} & \textbf{Tipo de Dato} & \textbf{Muestreo Maximo}($ \frac{1}{seg}$)\\ 
\hline Encoder de rotación & Ángulo & grados & Int32 & 1000  \\ 
\hline Sensor de ultrasonido & Distancia & cm & Int32 & 50 \\ 
\hline  Sensor de giro & Velocidad Angular & grados/seg & uint16 & 300 \\ 
\hline 
\end{tabular}
\caption{Propiedades de los Sensores.}  % Titulo de la grafica
\label{table:sensores}          % referencia de la tabla
\end{table} 
%-----------------------------------------------------------
\begin{table}[ht]
\centering             % Centra la Tabla
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline \textbf{Sensor} & \textbf{entrada} & \textbf{Unidades} & \textbf{Tipo de Dato} & \textbf{Muestreo Maximo}($ \frac{1}{seg}$)\\ 
\hline Motor DC & PWM & $\%$ & Int8 & 1000 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\caption{Propiedades del actuador.}  % Titulo de la grafica
\label{table:actuadores}          % referencia de la tabla
\end{table} 

%-----------------------------------------------------------
 
\subsection{Modelamiento del robot tipo segway} 

Todas las gráficas y ecuaciones que se muestran en esta subsección son de [8].
\\Se hará un modelamiento general del robot y una identificación de las variables que involucran su movimiento. Para esto se tiene en cuenta que el robot se puede considerar como un sistema péndulo invertido de dos ruedas, como se ve en la figura\ref{fig:estruc_robot}.

\begin{figure}[tbp]
    \centering
    	\includegraphics[width=5cm]{perndulo_ruedas.eps}
    \caption{Robot como péndulo invertido de dos ruedas.}
    \label{fig:perndulo_ruedas}
\end{figure}

Ubicando el péndulo invertido en un sistema de coordenadas y sobre el plano para poder hallar las ecuaciones de movimiento, se obtienen las vistas de la figura 6.3.

\begin{figure}[tbp]
  \centering
  \subfigure[Vista Lateral.]{
 \includegraphics[width=6cm]{coor_lagrange.eps} }
  \subfigure[Vista Superior.]{
  \includegraphics[width=6cm]{coor_lagrange2.eps} }
  \caption{Vista superior y lateral del péndulo invertido de dos ruedas.}
\end{figure}

Donde: 
\begin{flushleft}
$ \psi $: Angulo de Caida del péndulo. \\
$\theta_{i,d}$: Ángulo de la rueda($i,d$ indican izquierda y derecha )\\
$\theta_{m_{i,d}}$: Ángulo del motor ($i,d$ indican izquierda y derecha )\\
\end{flushleft}

\subsubsection{Ecuaciones de movimiento del péndulo invertido de dos ruedas}

Se pueden derivar las ecuaciones de movimiento del péndulo invertido de dos ruedas por el método del Lagrange basado en las cordenadas del sistema en la figura. Si la direccion del sistema es en el el eje $ x $ positivo en el instante  $ t=0 $, las cordenadas son dadas por:
 % \ref{fig:coor_lagrange} y \ref{fig:coor_lagrange2}


%-----------------------------------------------------------

\begin{eqnarray}
\left(x_m, y_m, z_m \right)&=&\left(R{\theta}\cos {\phi}, R{\theta}\sin {\phi}, R\right)\\
\left(\theta, \phi\right) &=& \left( \frac{1}{2}\left( \theta_{i}+\theta_{d}\right), \frac{R}{W}\left(\theta_{d}-\theta_{i}\right)\right)\\
\left(x_i, y_i, z_i\right) &=&\left(x_m-\frac{W}{2}\sin \phi, y_m+\frac{W}{2}\cos \phi, z_m \right)\\
\left(x_d, y_d, z_d\right) &=&\left(x_m+\frac{W}{2}\sin \phi, y_m-\frac{W}{2}\cos \phi, z_m \right)\\
\left(x_b, y_b, z_b\right) &=&\left( x_m+L\sin \psi\cos \phi, y_m+L\sin \psi \cos \phi, z_m +L\cos \psi\right) 
\end{eqnarray}

La energia traslacional Cinetica $ T_1 $, la energia cinetica rotacional $ T_2 $ y la energia potencial $ U $ estan dadas por:

\begin{eqnarray}
T_1 &=& \frac{1}{2}m\left( \dot{x_i}^{2}+\dot{y_i}^{2}+\dot{z_i}^{2}\right)+\frac{1}{2}m\left( \dot{x_d}^{2}+\dot{y_d}^{2}+\dot{z_d}^{2}\right)+\frac{1}{2}M\left( \dot{x_b}^{2}+\dot{y_b}^{2}+\dot{z_b}^{2}\right)\\
T_2&=&\frac{1}{2}J_w\dot{\theta_{i}}^{2}+\frac{1}{2}J_w\dot{\theta_{d}}^{2}+\frac{1}{2}J_{\psi}\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}J_{\phi}\dot{\phi}^{2}+\frac{1}{2}n^{2}J_{m}\left(\dot{\theta_{i}}-\dot{\psi}\right) \\
U&=&mgz_d+mgz_r+Mgz_b
\end{eqnarray}

El quinto y sexto termino en $ T_2 $ son la energia cinetica rotacional de la armadura del motor DC izquierdo y derecho respectivamente, La equacion lagrangiana $ L $ tienes la siguiente exprecion

\begin{equation}
 L=T_1+T_2-U
\end{equation}

Usando las siguientes variable para las cordenadas generalizadas

\begin{flushleft}
$ \theta $: Ángulo promedio de la la llanta izquierda y derecha.\\
$ \psi $: Ángulo de caida del péndulo \\
$ \phi $: Ángulo de desviación \\

\end{flushleft}

Las ecuaciones de Lagrange son:

\begin{eqnarray}
\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) -\dfrac{\partial L}{\partial\theta} &=& F_{\theta}\\
\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}\right) -\dfrac{\partial L}{\partial\psi} &=& F_{\psi}\\
\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}\right) -\dfrac{\partial L}{\partial\phi} &=& F_{\phi}
\end{eqnarray}

De los cuales se obtiene las siguientes ecuaciones:
\begin{flushleft}


\begin{multline}
\left[ \left(2m + m\right)R^{2} +2J_w+2n^{2}J_m\right]\ddot \theta+\left(MLR\cos\psi - 2n^{2}J_m \right)\ddot{\psi}\\ - MLR\dot{\psi}^{2}\sin \psi-\left[\left(2m+M \right)R^{2}\theta + MLR\sin \psi  \right] \dot{\phi}^{2}=F_\theta
\end{multline}

\begin{multline}
\left(MLR \cos \psi - 2n^{2} J_m \right)\ddot \theta+\left(ML^{2}+J_{\psi}+2n^{2} J_m \right)\ddot \psi - MgL\sin\psi \\- \left(MLR\theta + ML^{2} \sin \psi\right) \dot{\theta}^{2}\cos \psi = F_{\psi}\\
\end{multline}

\begin{multline}
\left[\frac{1}{2}mW^{2}+J_{\phi}+\frac{W^{2}}{2R^{2}}\left(J_w+n^{2}J_m\right)+\left( 2m+M\right)R^{2} \theta^{2} +2MLR\theta\sin \psi \right] \ddot{\phi}\\+2\left[ \left(2m+M \right)R^{2}\theta\dot{\theta}+ML^{2}\dot{\psi}\sin \psi\cos \psi + MLR\left(\dot{\theta} \sin \psi + \theta\dot{\psi} \cos \psi \right)\right]= F_{\phi}
\end{multline}

En consideración del torque del motor y la fricción viscosa , la fuerza generalizada del motor viene dada por:

\begin{eqnarray}
\left(F_{\theta}, F_{\psi}, F_{\phi} \right)&=&\left( \frac{1}{2}\left(F_i+F_d\right), F_{\psi},\frac{R}{W}\left( F_d-F_i\right)\right)  \\
F_i&=&nK_ti_i+f_m\left( \dot{\psi}-\dot{\theta_{i}}\right)-f_w\dot{\theta_{i}}\\
F_i&=&nK_ti_d+f_m\left( \dot{\psi}-\dot{\theta_{d}}\right)-f_w\dot{\theta_{d}}\\
F_{\psi}&=&-nK_ti_i-nK_ti_d-fm\left( \dot{\psi}-\dot{\theta_{d}}\right)-\left( \dot{\psi}-\dot{\theta_{i}}\right)
\end{eqnarray}

\end{flushleft}

Donde $i_{i,d}$, es la corriente en el motor, pero dado que la salida del actuador esta basado en PWM, falta hallar una relacion entre la corriente en el motor y el voltaje PWM a la salida del actuador y ella viene dado por:

\begin{equation}
L_mi_{d,i}=v_{i,d}+K_b\left(\dot{\psi}-\\ \dot{\theta_{i,d}} \right)-R_mi_{i,d}
\end{equation}

Ahora si consideramos la inductacia del motor muy pequeña que se aporxiam a cero la corriente es:
\begin{equation}\label{corriente}
i_{i,d}=\frac{v_{i,d}+K_b\left(\dot{\psi}-\\ \dot{\theta_{i,d}} \right)}{R_m}
\end{equation}

Usando la ecuacion \ref{corriente}, Se puede expresar la fuerza generalizada usando el voltaje aplicado al motor:

\begin{eqnarray}
F_{\theta}&=&\frac{\alpha}{2}\left(vi+vd \right)-\left({\beta}+f_w\right) \dot{\theta}+\beta\dot{\psi}\\
F_{\psi}&=&-{\alpha}\left( v_d-v_i\right)-2{\beta}\dot{\theta}-2{\beta}\dot{\psi}\\
F_{\phi}&=&\frac{R}{W}{\alpha}\left( v_d-v_i\right) -\left({\beta}+\frac{W}{R}f_w \right)\dot{\phi}
\end{eqnarray}

En donde las constantes $\alpha $ y $\beta $ están dadas por:

\begin{equation}
{\alpha}=\frac{nk_t}{R_m}, \quad{\beta}=\frac{nK_tK_b}{Rm}+f_m
\end{equation}

%Aqui termine las equaciones